Generalized m-Schröder paths and the Chung-Feller property

Abstract

在本文中，我们介绍了 \（ m \）-Schr\“oder 路径的泛化。对于一个固定的正整数 \（ m \），广义的 \（ m \）-Schr\“oder 路径是从 \（ （ （0,0） \） 开始的晶格路径），使用
步骤 \（ U = （1， 1） \）、\（ H = （1， 0） \）、\（ V_1= （0，-1） \） 和 \（ V_2 = （0，-2） \） 分别由 \（ 1 \）、 \（ h \）、 \（ a \） 和 \（ b \） 加权，仍然弱在线 \（ y= \frac{m-1}{m} x \） 之上），
并在此行结束。我们使用生成函数和 Riordan 数组来讨论部分广义 \（ m \）-Schr\“oder 路径和自由广义 \（ m \）-Schr\”oder 路径的枚举
，
并得到 Chung-Feller 性质。
特别是，当 \（ h = a = b = 1 \） 时，我们发现 \（ n \）
阶的广义 \（ m \）-Schr\“oder 路径的数量等于具有 \（ n \） 个内部节点的混合 \（ （ （m+1） \）-ary 树的数量。